Прогнозирование деградации футеровки и нагревателей (МНК)

1. Физика процессов эксплуатационной деградации

В ходе непрерывных высокотемпературных теплосмен конструктивные элементы промышленных печей подвергаются необратимому старению, что влечёт прогрессирующее падение коэффициента полезного действия ($\eta$) и перерасход топлива/электроэнергии:

---

2. Математический аппарат метода наименьших квадратов (МНК)

Постановка задачи аппроксимации

Имеется временной ряд измерений эффективности $\eta_i$ в дискретные моменты времени $t_i$ ($i = 0, 1, \dots, n-1$):

$$\mathcal{D} = \{ (t_0, \eta_0), (t_1, \eta_1), \dots, (t_{n-1}, \eta_{n-1}) \}, \quad n \ge 2$$

Ищется линейная функция тренда:

$$\hat{\eta}(t) = a + b \cdot t$$

Критерий оптимальности МНК формулируется как минимизация суммы квадратов невязок (Residual Sum of Squares, $SS_{res}$):

$$S(a, b) = \sum_{i=0}^{n-1} \left[ \eta_i - (a + b \cdot t_i) \right]^2 \to \min_{a, b}$$

Система нормальных уравнений Гаусса

Необходимым условием экстремума функции двух переменных является равенство нулю частных производных:

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum_{i=0}^{n-1} (\eta_i - a - b \cdot t_i) = 0 \\[10pt] \displaystyle \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=0}^{n-1} t_i (\eta_i - a - b \cdot t_i) = 0 \end{cases}$$

Раскрывая суммы, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных $a$ и $b$:

$$\begin{cases} a \cdot n + b \sum t_i = \sum \eta_i \\[6pt] a \sum t_i + b \sum t_i^2 = \sum t_i \eta_i \end{cases}$$

Аналитическое решение

Определитель матрицы системы:

$$\Delta = n \sum_{i=0}^{n-1} t_i^2 - \left(\sum_{i=0}^{n-1} t_i\right)^2$$

При условии неравномерности временных меток ($\Delta \ne 0$) коэффициенты регрессии определяются однозначно:

$$b = \frac{n \sum_{i=0}^{n-1} t_i \eta_i - \left(\sum_{i=0}^{n-1} t_i\right) \left(\sum_{i=0}^{n-1} \eta_i\right)}{n \sum_{i=0}^{n-1} t_i^2 - \left(\sum_{i=0}^{n-1} t_i\right)^2}$$

$$a = \bar{\eta} - b \cdot \bar{t} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1} \eta_i - b \sum_{i=0}^{n-1} t_i}{n}$$

Величина $b$ представляет собой физическую скорость изменения КПД (единицы: %/такт или %/сутки).

---

3. Оценка качества аппроксимации (Коэффициент детерминации $R^2$)

Достоверность построенного линейного прогноза оценивается коэффициентом детерминации:

$$R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} = 1 - \frac{\sum_{i=0}^{n-1} (\eta_i - \hat{\eta}_i)^2}{\sum_{i=0}^{n-1} (\eta_i - \bar{\eta})^2}$$

• $R^2 \ge 0.85$: высокая надежность аппроксимации, подтверждающая монотонный характер деградации футеровки;
• $0.50 \le R^2 < 0.85$: умеренная корреляция (наличие технологических шумов);
• $R^2 < 0.50$: слабая линейная связь (тренд не выражен, либо процесс находится в стационарном состоянии).

---

4. Расчёт остаточного ресурса (Remaining Useful Life — RUL)

Если скорость деградации отрицательна ($b < 0$), наклон прямой направлен вниз, что свидетельствует о прогрессирующей потере тепловой изоляции или эрозии теплообменных поверхностей.

Формула экстраполяции:

$$\Delta t_{remaining} = \frac{\eta_{threshold} - \eta_{last}}{b}$$

Календарная прогнозируемая дата достижения аварийного порога:

$$t_{estimated} = t_{last} + \Delta t_{remaining}$$

где:

• $\eta_{last}$ — значение КПД в последнем расчётном цикле;
• $\eta_{threshold}$ — предельно допустимый эксплуатационный КПД (норматив: $15.0\%$, при котором дальнейшая работа печи экономически нецелесообразна из-за перерасхода топлива).

Градация уровней эксплуатационного риска (RiskLevel):

Условие остаточного ресурса	Уровень риска	Технологический статус	Предписываемый регламент
$b \ge 0$ или $\Delta t_{rem} \ge 90$ дней	low	Норма	Штатная эксплуатация без ограничений
$b < 0$ и $30 \le \Delta t_{rem} < 90$ дней	medium	Внимание	Включение агрегата в квартальный план ППР
$b < 0$ и $\Delta t_{rem} < 30$ дней	high	Критический	Срочное тепловизионное обследование и останов

---

5. Численный пример прогноза деградации

Исходные замеры КПД камерной печи за 5 последовательных недель:

$$\mathcal{D} = \{ (t_0=0, \eta_0=48.2\%), \; (t_1=7, \eta_1=46.5\%), \; (t_2=14, \eta_2=44.9\%), \; (t_3=21, \eta_3=43.1\%), \; (t_4=28, \eta_4=41.4\%) \}$$

Расчёт коэффициентов:

• $n = 5$;
• $\sum t_i = 0 + 7 + 14 + 21 + 28 = 70$ суток ($\bar{t} = 14$);
• $\sum t_i^2 = 0 + 49 + 196 + 441 + 784 = 1470$;
• $\sum \eta_i = 48.2 + 46.5 + 44.9 + 43.1 + 41.4 = 224.1\%$ ($\bar{\eta} = 44.82\%$);
• $\sum t_i \eta_i = 0\cdot 48.2 + 7\cdot 46.5 + 14\cdot 44.9 + 21\cdot 43.1 + 28\cdot 41.4 = 0 + 325.5 + 628.6 + 905.1 + 1159.2 = 3018.4$.

Угловой наклон $b$:

$$b = \frac{5 \cdot 3018.4 - 70 \cdot 224.1}{5 \cdot 1470 - (70)^2} = \frac{15092.0 - 15687.0}{7350 - 4900} = \frac{-595.0}{2450} \approx -0.2429 \text{ \%/сутки}$$

Остаточный ресурс до критического порога $\eta_{threshold} = 15.0\%$:

$$\Delta t_{remaining} = \frac{15.0 - 41.4}{-0.2429} = \frac{-26.4}{-0.2429} \approx 108.7 \text{ суток}$$

Классификация: $\Delta t_{remaining} > 90$ дней, уровень риска классифицируется как low (нормальная плановая эксплуатация, ожидаемый срок капитального ремонта футеровки — через 3.5 месяца).

---

6. Спецификация DTO DegradationForecastDto

{
  "currentSlope": -0.2429,
  "currentAvgEfficiency": 44.82,
  "estimatedThresholdDate": "2027-01-05T12:00:00Z",
  "thresholdEfficiency": 15.0,
  "riskLevel": "low"
}